«Абстракты Вавилонской библиотеки» - книги для дизайнера абстрактных стратегий и математических игр.

Мартин Гарднер – «Математические Головоломки и Развлечения» 2-е дополненное издание.

Начнем мы с бессмертной классики в переводе Ю.А. Данилова.

Мартин Гарднер (Martin Gardner, 1914–2010) — американский философ науки и математик, писатель, популяризатор науки и один из главных энтузиастов абстрактных и логических игр XX века. На протяжении более 25 лет он вёл знаменитую колонку Mathematical Games в журнале Scientific American, где знакомил широкую аудиторию с математическими головоломками, теорией игр, занимательной логикой и нестандартными шахматами.

Среди его вкладов в область абстрактных игр — описание и популяризация множества вариантов шахмат, включая:
Дуэльные шахматы (Chess for Two) — с ограниченным количеством фигур и ходов;
Шахматы на торе, где доска замкнута по краям;
Hexapawn — минималистическая шахматоподобная игра, используемая для демонстрации простейших алгоритмов машинного обучения;
«Шахматы Гарднера» - мини шахматы на доске пять на пять клеток.

«Шахматы Гарднера» - мини шахматы на доске пять на пять клеток.

Кроме шахмат, предметом интереса Гарднера были многие абстрактные игры – такие, как Hex, Nim, Sprouts, Го, Тафль и многие другие. Сам он был не столько автором игр, сколько проводником между научным мышлением, математикой и игровой культурой. Он делал их предметом разговора, размышления, творчества. Благодаря ему абстрактная игра стала не только развлечением, но и философским объектом, формой исследования сложности, симметрии, стратегии и эстетики.

Как и большинство других книг Гарднера, Математические Головоломки и Развлечения – сборник статей и эссе, посвященных математическим головоломкам, фокусам и играм.
Это не книга о настольных играх, как таковых, но среди глав, посвященных чудесам морфологии, алгебраическим преобразованиям, задачам дискретной математики и комбинаторики есть и описания игр с их парадоксами и интересными математическими аспектами.

В одной из первых глав рассматривается игра в «крестики-нолики» - с помощью которой, среди прочего, задаются базовые понятия абстрактных стратегий – конечность, детерминированность и полнота информации. Так же рассматриваются различные варианты «крестиков-ноликов», к которым относиться и семейство игр «мельница» и варианты на увеличенных и многомерных досках (включая го-моку). 

Среди прочего, Гарднер рассматривает расширение поля крестиков-ноликов до четырёхмерного гиперкуба - в этом случае поле представляет собой четырёхмерный куб размером 4×4×4×4 — это можно вообразить, как четыре трёхмерных куба (размером 4×4×4), расположенных вдоль четвёртого измерения.

Игроки стремятся выстроить четыре символа в ряд — по любому направлению внутри гиперкуба: вдоль строк, столбцов, диагоналей в пределах одного куба, вдоль направления четвёртого измерения (между разными 3D-кубами), по многомерным диагоналям, пересекающим все четыре оси.  

Еще одна интересная игра, которую рассматривает Гарднер – «Гекс» (Hex). Эта игра относится к огромному семейству «игр на соединение», которые подробно рассматриваются в другой книге – тоже описанной в этой статье.
Как и у многих других игр на соединение, правила гекса очень просты – нужно соединить цепочкой своих фишек две стороны ромбовидной игровой доски. Но за этой простотой скрыта огромная стратегическая и математическая глубина. Сама игра так же имеет математическую основу – Датский физик Пит Хейн придумал её, размышляя над так называемой «проблемой четырех красок» -  классической задачей комбинаторики и топологии, сформулированная в 1852 году: Можно ли раскрасить любую карту на плоскости так, чтобы никакие две соседние области не имели одинаковый цвет, используя не более четырёх цветов? (Здесь соседними считаются области, имеющие общую границу, а не только точку). Этой задаче в книге Гарднера посвящена отдельная глава.

В статье про гекс Гарднер рассуждает о таких понятиях как сложность и топологическое соответствие и закономерностях разработки стратегии и описывает аналоговую машину для игры в гекс – делая первый ход, она всегда могла обыграть живого игрока.

Очень интересны главы о «полимино» - рассуждающие о задачах с использованием полимино – односвязных фигур, составленных из квадратов. Современным игрокам полимино лучше всего известны по компьютерной игре «тетрис».
Полимино – объект огромного количества топологических задач, из которых, позже, выросло любопытное семейство игр на покрытие доски теми или иными сочетаниями фигур.

В наше время наиболее известной игрой этого типа стала игра “Patchwork” где игроки соревнуются в создании наилучшего лоскутного одеяла на личном игровом поле 9×9 клеток, покупая и размещая различные кусочки ткани (полиомино) на своём планшете. Легко видеть, что игры подобного типа делятся на две категории – усложненное домино, где важны «значения» на квадратах соединения фигур, и топологические игры на покрытие доски, где все квадраты идентичны, а выигрыш достигается размещением большего количества фигур на поверхности поля.

Сегодня есть множество трехмерных полимино-игр, где либо наслаиваются друг на друга плоские фигуры, либо составляются трехмерные структуры на подобие настольного «тетриса».

Далее Гарднер рассматривает игры семейства «Ним».
Ним – старая математическая игра на планирование и счёт, её базовые правила примерно такие: на столе лежат несколько куч с палочками, камешками или фишками (например: 3 кучки — 3, 5 и 7 предметов). Игроки ходят по очереди, в свой ход игрок выбирает одну любую кучу и убирает из неё некоторое количество предметов (хотя бы один, но можно и больше – в зависимости от правил). Проигрывает тот, кто не может сделать ход, то есть, когда все кучи пусты. В некоторых вариантах выигрывает тот, кто сделал последний ход, но "классическая" версия — с проигрышем на последнем ходе. Гарднер объясняет основы игры, понятие «ним-суммы» и стоящие за ней вычисления – и, хотя базовый вариант игры ним решен, есть много усложненных разновидностей, которые не имеют простого решения.  В той же главе Гарднер рассматривает родственную Ним игру «Так-тикс» - которая играется на доске 4 на 4 клетки – это более визуально понятное представление игры Ним, похожее на традиционные абстрактные игры на доске. В Так-тикс играют на прямоугольной или квадратной решётке (обычно 5×5, но может быть и 4×4, 6×6 и т.д.), заполненной фишками. В свой ход игрок должен удалить одну или несколько фишек, но только из одного ряда или одного столбца, и только смежные (подряд идущие) фишки.

Как и в другие игры семейства Ним, в Так-Тикс можно играть с двумя условиями победы – либо проигрывает тот, кто не может сделать ход — то есть, когда на поле больше не осталось фишек, или они расставлены так, что невозможно выполнить условия хода, либо тот, кто берет последнюю фишку.

На иллюстрациях выше - машины для игры в Ним – из-за своей математичности Ним хорошо поддается автоматизации – существуют как электронные, так и полностью механические варианты. Обычно в этих автоматах используется самый базовый вариант игры, там где игроки по очереди берут от одной до трех бусин или палочек из одной "кучки".

В главе, посвященной занимательной топологии Гарднер так же затрагивает игры – «точки и квадраты» а также Игру Гейла. Игра Гейла похожа на «Гекс» - в ней нужно соединить две стороны квадратного поля проходящими через узловые точки линиями – обычно, черными у одного из игроков, и белыми у другого. Узловые точки так же имеют свой цвет, и соединять можно лишь точки одного цвета.

К сожалению, глава «игры на шахматной доске», посвященная не только шахматам, но и другим играм, которые играются на разделенных на клетки прямоугольных досках –достаточно поверхностная и обзорная – в ней Гарднер не разбирает сколько-то глубоко стоящую за играми теорию, но просто рассказывает о разновидностях игр на специальных досках. Гарднер рассказывает правила «реверси» - Английской игры, родственной Го и слегка касается её стратегии, а так же разбирает некоторые аспекты шахматной игры «Магараджа» - где у одного игрока есть полный набор фигур, а у другого – магараджа, фигура, объединяющая ходы ферзя и коня и способная заматовать короля в одиночку (в обычных шахматах такой фигуры нет).

 Книга Мартина Гарднера «Математические головоломки и развлечения» — это классика научно-популярной литературы, где логические игры, парадоксы и задачи подаются с юмором, ясностью и интеллектуальной изысканностью. Для дизайнера игр-практика она — кладезь идей и принципов. А любителям абстрактных игр — как неисчерпаемый источник вдохновения и тренировки ума. Даже если вы не занимаетесь настольными абстрактными играми, как таковыми, многие его статьи могут послужить основой для головоломок в рамках приключенческих игр или настольных приключений – «эскейп румов». Поэтому у меня не было выбора, но лишь посвятить описанию этой книги объём, достойный отдельной статьи.

Е.Я. Гик – Занимательные Математические Игры. Издательство «знание» 1987.

Когда я искал книги о математике абстрактных стратегий, я искренне полагал, что найду множество посвященных этому вопросу советских книг. Но оказалось, что по теме математики популярных абстрактных стратегических игр, кроме сборников статей Гарднера, об одном из которых мы говорили ранее, в СССР выходила ровно одна брошюра на 160 страниц, в двух изданиях - 1982 и 1987 года. И именно о ней пойдет речь ниже.

Гик Евгений Яковлевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник ВНИИНС, ведущий отдела журнала "Квант" и научный консультант журнала "Наука и жизнь". Также он был мастером спорта СССР по шахматам и автором ряда шахматных книг - "Математика на шахматной доске", "Шахматные досуги", "Шахматы и математика" и "Беседы о шахматах". В отличие от книги Гарднера, книга Гика посвящена только и именно играм – как можно понять из названия, логическим и математическим.

В первой главе Гик рассматривает ряд комбинаторных игр – «Быки и коровы», «отгадать слово» и «морской бой» - он подробно разбирает каждую из игр и с примерами партий и стоящей за ними логики рассматривает ведущие к победе алгоритмы. Любопытно, что Гик рассматривает «морской бой», среди прочего, как разновидность полимино-игр.

В отдельной главе Гик рассматривает игры со словами, алгоритмы, связанные с анаграммами и метаморфозами слов и несколько вариантов игры в «Балду».

Но большая часть книги посвящена абстрактным стратегиям – шахматным и шашечным играм, семейству «крестиков-ноликов» и игре Го.

В главе «шахматные игры» Гик рассказывает о различных вариантах т.н. «фэнтезийных» шахмат – играх, основанных на шахматах, но отличающихся либо доской, либо набором фигур, либо и тем и другим. Многие изменения могут серьезно менять тактику и стратегию игры – например, доски с необычной топологией – цилиндрические, тороидальные или «многомерные», добавление новых правил, необычные фигуры. 

Два варианта шахмат на цилиндрической доске. Обратите внимание, что два варианта целиндра образуют два варианта связности - по вертикалям и по горизонталям доски.

Для иллюстрации того, насколько подобные изменения могут менять восприятие позиций Гик приводит ряд фэнтезийных шахматных задач. В целом, здесь нет чего-либо принципиально нового для людей, увлекающихся играми на основе шахмат, но это очень хороший обзорный материал, закладывающий основы и идеи для самостоятельного творчества.

В главе «математические игры на шахматной доске» Гик рассматривает не столько шахматы, как таковые, сколько поддающиеся математическому анализу игры с использованием шахматной доски на 64 клетки. Кроме т.н. «охотничьих» игр он упоминает игры, родственные игре «Ним» и полимино.

В главе «Шашечные Игры» Гик рассказывает о разновидностях шашек, или шашечных игр, останавливаясь подробно на двух разновидностях – «поддавках» и «уголках». Последняя игра является упрощенной версией игры «Халма». Разница в том, что в «уголках» шашки могут и ходить на одну клетку ортогонально, и перепрыгивать через свои и чужие шашки, а в «халма» разрешены только прыжки. И там, и там цель – первым занять своими шашками угол партнера по игре. Так же в этой главе Гик касается теории «перестановочных» игр в принципе.

Последняя часть главы под общим названием «шахматные игры» посвящена не связанной напрямую с шахматами, но тем не менее популярной и весьма примечательной игре «реверси». Как и Гарднер, Гик объясняет её правила и делает короткий экскурс в её теорию и стратегию.

Предпоследняя глава книги посвящена семейству игр «крестики-нолики» включая рэндзю –если вы уже читали аналогичные статьи Гарднера, то эта глава даст вам не много – хотя в ней отдельно рассматривается возможность создания словесных игр на основе крестиков-ноликов, общий случай для игр n-в рад, и японская игра Рэндзю рассмотрена несколько подробнее, нежели у Гарднера.  

Последняя глава книги посвящена Го. Гик рассказывает правила Го, рассматривает основные понятия игры и базовые тактики. Поскольку он явно знаком с Го хуже, чем с военными играми шахматного и шашечного типа, здесь нет каких-либо идей для самостоятельного творчества – только основы для тех, кто знакомится с игрой впервые.

Книга Е. Я. Гика «Занимательные математические игры» — это увлекательное собрание логических и числовых головоломок, построенных на математических принципах. Для дизайнера игр-практика она полезна как источник идей для простых, но глубоко просчитываемых механик и мини-игр. Для исследователя — как культурно-историческое свидетельство популяризации комбинаторных задач. А любителю абстрактных игр она даёт удовольствие от решения, интуитивное понимание стратегий и вдохновение для создания собственных игр. В целом книга Гика, хотя и ощущается временами несколько вторичной относительно статей Мартина Гарднера, очень неплохое краткое пособия для тех, что начинает изучать мир абстрактных стратегий и хотел-бы заложить основы для собственного творчества.

Игры и стратегии с точки зрения математики
Третья книга в этой подборке достаточно новая. Книга кандидата физико-математических наук Александра Шеня «Игры и стратегии с точки зрения математики» вышла в 2018 году в издательстве МЦНМО.

Книга Шеня отличается от двух предыдущих книг в этой подборке. Здесь автор не столько рассказывает о играх (хотя, конечно, объясняет правила тех игр, которые используются как примеры), сколько объясняет основные понятия, связанные с математическим анализом игр. Шень рассказывает, что такое «решение» игры, показывает примеры анализа игр и поиска выигрышной стратегии. Эта книга - компактный обзор теории конечных игр: от простых примеров и моделей типа Nim до глубокой теории Шпрага–Гранди, компьютерного моделирования и частного введения в неполные и бесконечные игры.

Очень интересна глава, где объясняется изоморфизм игр – т.е. состояние, когда две с виду разные игры, по существу, одинаковы, т.е. изоморфны. Интересно то, что при этом у игр могут отличаться практически все правила, т.е. основные механики.

Далее Шень рассказывает об играх со многими исходами и алгоритме «минимакс» (простой рассказ об этом алгоритме можно прочитать в моей статье «мой матч с Каспаровым»), вводит строгие математические термины игры, позиции, стратегии, доказательства существования выигрышной стратегии. Даёт общую теоретическую часть о существовании стратегий, типах игр и применении формальной логики.

Шень затрагивает так же программирование абстрактных стратегических игр, описывая подходы создания алгоритмов для игр: разветвление по игровым деревьям, эвристики и прерывание поиска.

В последних главах книги рассматриваются бесконечные игры - гипотетические игры без конечного состояния, принципы их анализа и их связь с теорией множеств, и игры с неполной информацией и их связь с экономической теорией.

Книга А. Шеня «Игры и стратегии с точки зрения математики» — это ясное и компактное введение в анализ абстрактных игр, особенно с полной информацией и без случайности. Она полезна дизайнеру игр-практику тем, что учит видеть структуру и стратегические паттерны за простыми механиками, помогает создавать сбалансированные и просчитываемые системы. Для исследователя книга ценна как введение в комбинаторную теорию игр. А любителю — как сборник изящных логических задач и моделей, развивающих стратегическое мышление.
На мой взгляд, книга Александра Шеня может быть полезна как для исследования и обсуждения игр, так и для тех, кто хочет «проверить на прочность» дизайн собственной игры.

Joao Pedro Neto, Jorge Nino Silva “Mathematical Games, Abstract Games”
Dover Publications 2013.

Это наглядный, иллюстрированный сборник абстрактных и математических игр. Во введении авторы рассказывают об истории настольных игр, их классификации и вариантах. Так же обсуждаются базовые определяющие игры понятия, такие, как глубина, сложность, время, вариативность и интеракция.
Во второй главе рассматриваются абстрактные стратегические игры для двух игроков. Авторы дают коллекцию из 27 различных дуэльных игр — от известных до авторских — с объяснением правил, стратегий и тактических приёмов.

Третья глава посвящена разновидностям игры «Ним», уже знакомой нам по предыдущим книгам. В ней авторы сначала дают общую теорию игр этого типа, а потом – 18 примеров родственных «ним» игр. Это очень «математическая» глава, поскольку игры этого типа, во-первых, очень математические сами по себе, а во-вторых, в ней авторы рассказывают о том, как анализировать игры с помощью теории графов.
Четвертая глава структурно похожа на вторую, но посвящена играм для трёх игроков. Во введении авторы разбирают проблемы, стоящие перед дизайнером абстрактных стратегий для более чем двух игроков и их возможные решения, после чего приводят собрание из восьми абстрактных игр для троих, иллюстрируя описанные ранее проблемы и решения. 

Пусть вас не смущает, что описание этой книги столь короткое – я считаю её самой полезной из описанных в этом обзоре с точки зрения дизайнера-практика.
Mathematical Games, Abstract Games — это отличный ресурс для дизайнеров игр. Она не только знакомит с огромным разнообразием классических и, что важно, современных логических игр, но и демонстрирует математические принципы, лежащие в основе игрового баланса, структуры и сложности. Практику она полезна как источник идей, примеров, а главное — как инструмент понимания механик на уровне модели, что критически важно при проектировании оригинальных и устойчивых игровых систем. Если вы размышляете над абстрактной игрой и хотите проверить, существует ли что-то подобное, и как с похожими принципами работали другие дизайнеры – это первая книга, в которую вам стоит заглянуть.

Cameron Browne “Connection Games – Variations on a Theme”. CRC Press, 2005.

Последняя книга в этом обзоре - уникальное исследование одного из самых изящных и недооценённых жанров абстрактных стратегических игр: игр на соединение.
Кэмерон Браун получил образование в Австралии и Великобритании, начав карьеру как исследователь в Imperial College London. Позже работал в Национальном университете науки и технологий Квинсленда в рамках проекта Games Without Frontiers, в лаборатории AI Института RIKEN в Японии и в университете Маастрихта, где руководил исследованиями в области AI и автоматического проектирования игр, включая Европейский проект Digital Ludeme Project.

Connection Games – Variations on a Theme – исследовательскийmagnum opus КэмеронаБрауна. Эта книга не общий обзор принципов абстрактных игр и не просто каталог, а глубокий аналитический обзор десятков существующих игр на соединение (connectiongames), их механик, стратегий и вариаций, сопровождая теоретические наблюдения иллюстрациями, диаграммами и математическими интерпретациями.
Игры на соединение (connectiongames) — это класс абстрактных стратегических игр, в которых цель игрока состоит в том, чтобы соединить определённые точки, стороны или области игрового поля своим непрерывным путем, преодолевая препятствия со стороны противника. Такие игры, как правило, не содержат элемента случайности или скрытой информации, и требуют стратегического мышления и пространственного планирования. Как вы, наверное, догадались, классическим примером является уже известная нам игра Hex.

Пусть вас не пугают намёки на научность работы – Браун объясняет приводимые им термины и определения, и делает это очень подробно и доступным языком.
Первая часть книги полностью посвящена определению того, что такое игра на соединение, природы и нюансов их основной игровой механики, и связи игр на соединение и теории графов. Для понимания материала очень желательно владеть самыми основами этой самой теории, но именно что самыми основами – мне вполне хватило институтского курса 20-летней давности, а тем, кто связан с программированием и алгоритмами будет еще легче. Кроме того, краткое изложение этой теории есть в приложениях в конце книги.
Подобно авторам книг о дизайне игр, Браун рассматривает игры на соединение как системы, состоящие из элементов – т.н. «людем» - минимальных единиц игровых компонентов и правил/механик.  Он подробно рассматривает такие аспекты игр, как физические элементы игры и их влияние на игровой процесс и баланс и правила – описывая обычные для игр на соединения решения различных проблематичных ситуаций. 
В связи с правилами Браун так же рассуждает об обычных для игр на соединения тактических и стратегических решениях – от тактических решений вроде вилок и форсированных ходов до глобальных стратегических подходов к атаке и обороне.

Всё это не просто теоретические объяснения - уже первые главы книги могут быть полезны дизайнеру-практику, поскольку дают как метод представления игры, как графа, так и практические идеи для решения дисбаланса и ничейных ситуаций.

Вторая часть книги – каталог различных игр, с подробным описанием механик и ряда специфических тактических приёмов. В списке множество игр на соединение, от классического гекса и его ближайших родственников, и до таких интересных случаев, как трехмерная игра Akorn с любопытными механиками наслаивания путей друг на друга.

Каталог включает как «чистые» игры на соединение, где и цель, и механики соответствуют базовому определению, так и игры, родственные играм на соединение – либо в плане цели, либо в плане игровых механик.

В заключительной, третьей части книги Браун даёт ряд практических советов работающему над собственной игрой дизайнеру, а четвертая часть – полезные приложения, с разнообразной информацией – от краткого изложения теории графов и примера решения простой игры и до морфологии игрового поля.